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Le théorème du carreleur

Il est tout à fait possible de refaire le carrelage d’une salle de bains avec des carreaux pentagonaux. Mais pour éviter les trous, il faut opter pour de bonnes formes de pentagones. En fait, c’est un sacré problème mathématique qui n’a pas pu être résolu que très récemment par un informaticien théorique dénommé Michael Rao. Gros plan sur le théorème du carreleur.

La découverte des 15 familles de pentagones

Si l’on dit que Michael Rao a mis un terme à un siècle de recherches mathématiques sur la classification des paysages mono-carreau par pentagones convexes, c’est parce qu’avant sa découverte, on ne pouvait pas prouver qu’il existe différentes familles de pentagones.
D’après l’histoire, le mathématicien Karl Reinhard a reconnu les 5 premières familles de pentagones qui pavent le plan en 1918. Puis, le mathématicien Richard Kershner a découvert 3 nouvelles familles en 1968.
En 1975, la neuvième famille de pentagones fut trouvée par l’informaticien Richard James et en 1977, une femme au foyer du nom de Marjorie Rice a discerné 4 autres familles. Enfin, en 2015, les 2 dernières familles de pentagones fut repérées par le mathématicien Casey Mann. Ce qui signifie qu’il y existe donc en tout 15 familles de pentagones.

La découverte de l’ensemble fini de 371 familles candidates

De nombreuses personnes croient que ce genre de problème mathématique peut être résolu rapidement par un ordinateur, mais ce n’est pas du tout le cas. Michael Rao a confirmé que le nombre de familles de pentagones est infini. Et il en va de même pour le nombre de manières de les arranger pour paver le plan. Ainsi, il faut donc utiliser un logiciel spécifique pour pouvoir le déterminer.
Après le développement de ce dernier, Michael Rao a pu identifier un ensemble fini de 371 familles candidates. Du coup, il est impossible de paver un plan avec les pentagones qui n’appartiennent donc pas à ces familles. Autrement dit, ce sont les seules familles de pentagones qui conviennent au pavage.

L’objet du théorème de Rao

Après ce premier logiciel, Michael Rao a également élaboré un second logiciel permettant d’étudier en profondeur les 371 familles candidates. Cet outil a confirmé que les 15 premières familles de pentagones pouvaient réellement paver le plan. Mais malheureusement, il n’a pas permis de découvrir de nouvelles familles de pentagones.
Après cette expérience, le théorème de Rao ou théorème du carreleur a vu le jour et il confirme qu’un pentagone convexe pave le plan, si et seulement s’il appartient à l’une de ces 15 familles. Par ailleurs, il y a aussi ce qu’on appelle pavage multiforme, un type de pavage qui est beaucoup plus complexe et encore non-résolu.

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